1.70 Докажите равенство: а) C₇⁴ + 2C₆³ + C₇³ = 2C₁₁²; б) C₉⁵ − 2C₈⁵ + C₉⁴ = 2C₈⁴; в) C₁₂⁴ + 2C₁₂⁵ + C₁₂⁶ = C₁₄⁶; г) C₁₅⁸ + 2C₁₅⁹ + C₁₅¹⁰ = C₁₇¹⁰.

Вычислим обе части каждого равенства по формуле сочетаний и свойству симметрии \(C_n^k=C_n^{n-k}\).

1. а) \(C_7^4+2C_6^3+C_7^3=35+2\cdot20+35=110\), а \(2C_{11}^2=2\cdot55=110\). Части равны.
2. б) \(C_9^5-2C_8^5+C_9^4=126-2\cdot56+126=140\), а \(2C_8^4=2\cdot70=140\). Части равны.
3. в) \(C_{12}^4+2C_{12}^5+C_{12}^6=495+2\cdot792+924=3003\), а \(C_{14}^6=3003\). Части равны.
4. г) \(C_{15}^8+2C_{15}^9+C_{15}^{10}=6435+2\cdot5005+3003=19448\), а \(C_{17}^{10}=19448\). Части равны.