1.68 Вычислите: а) C₁₀³ + C₉³; б) C₁₁² + C₉³; в) C₁₅¹¹ − C₁₄⁶; г) (C₇⁴ + C₇³)/C₇⁴; д) (C₁₂⁴ − C₁₂⁸)/C₁₃⁷; е) (C₁₁⁵ + C₁₁⁶)/(C₁₃⁷ + C₁₃⁶).

Используем симметрию сочетаний \(C_n^k=C_n^{n-k}\) и тождество Паскаля \(C_n^k+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}\).

1. а) \(C_{10}^3+C_9^3=120+84=204.\)

2. б) \(C_{11}^2+C_9^3=55+84=139.\)

3. в) \(C_{15}^{11}-C_{14}^6=C_{15}^4-C_{14}^6=1365-3003=-1638.\)

4. г) \(\dfrac{C_7^4+C_7^3}{C_7^4}=\dfrac{35+35}{35}=2.\)

5. д) Так как \(C_{12}^4=C_{12}^8\), числитель равен нулю, поэтому \(\dfrac{C_{12}^4-C_{12}^8}{C_{13}^7}=0.\)

6. е) \(C_{11}^5+C_{11}^6=C_{12}^6=924\), а \(C_{13}^7+C_{13}^6=C_{14}^7=3432\). Следовательно, \(\dfrac{924}{3432}=\dfrac{7}{26}.\)

Ответ: а) 204; б) 139; в) −1638; г) 2; д) 0; е) 7/26.