1. а) Существует ли выпуклый четырёхугольник, углы которого равны 55°, 45°, 125°? Ответ обоснуйте. б) Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если сумма его углов равна 2340°?

а) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Четвёртый угол должен быть \(360°-(55°+45°+125°)=135°\). Все четыре угла положительны и меньше 180°, поэтому такой выпуклый четырёхугольник существует.

б) Сумма внутренних углов выпуклого \(n\)-угольника равна \(180°(n-2)\).

\(180(n-2)=2340\), откуда \(n-2=13\), \(n=15\).

Ответ: а) да; б) 15 сторон.