1. Дана функция \(y=x^3-3x^2+4\). Найдите: а) промежутки возрастания и убывания функции; б) точки экстремума; в) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке \([-1;4]\).

Найдём производную: \(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\). Критические точки: \(x=0\) и \(x=2\).

Знак производной: при \(x<0\) и \(x>2\) производная положительна, а при \(0<x<2\) отрицательна. Поэтому функция возрастает на \((-\infty;0)\) и \((2;+\infty)\), убывает на \((0;2)\).

В точке \(x=0\) производная меняет знак с плюса на минус: это точка максимума, \(y(0)=4\). В точке \(x=2\) знак меняется с минуса на плюс: это точка минимума, \(y(2)=0\).

На отрезке \([-1;4]\) проверим значения в концах и критических точках: \(y(-1)=0\), \(y(0)=4\), \(y(2)=0\), \(y(4)=20\).

Ответ: а) возрастает на \((-\infty;0)\) и \((2;+\infty)\), убывает на \((0;2)\); б) максимум в точке \((0;4)\), минимум в точке \((2;0)\); в) наибольшее значение — 20, наименьшее — 0.