1. Дана треугольная пирамида SABC с вершиной S, в основании которой лежит правильный треугольник АВС. Отрезки AM, BN и CP являются медианами, точка О - точка пересечения медиан. Отрезок SA перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых. 1) прямые SA и SN; 2) прямые CM и AO; 3) прямые SA и BP; 4) прямые OM и CP; 5) прямые SM и NP. В ответе запишите номера выбранных пар прямых без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде медианы являются также высотами и биссектрисами. Точка пересечения медиан (центр основания) O равноудалена от вершин А, В, С. Отрезок SA перпендикулярен плоскости основания, следовательно, SA перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания и проходящей через точку А. Отрезок SN является медианой и высотой треугольника SBC, поэтому SN перпендикулярен BC.

1. Прямые SA и SN: SA перпендикулярно плоскости основания, SN лежит в этой плоскости. SA перпендикулярно SN, так как SN проходит через точку А (в данном случае S - вершина, а N - середина стороны BC, так что SN - медиана треугольника SBC).

2. Прямые CM и AO: CM - медиана треугольника ABC. AO - отрезок, соединяющий вершину A с центром основания O. CM и AO не перпендикулярны.

3. Прямые SA и BP: SA перпендикулярно плоскости основания. BP - медиана треугольника ABC. SA перпендикулярно BP, так как BP лежит в плоскости основания и проходит через точку B, а SA перпендикулярно плоскости основания.

4. Прямые OM и CP: OM - отрезок, соединяющий центр основания O с серединой стороны AB. CP - медиана треугольника ABC. OM и CP не перпендикулярны.

5. Прямые SM и NP: SM - медиана треугольника SAC. NP - медиана треугольника NBC. SM и NP не перпендикулярны.

Пары перпендикулярных прямых: SA и SN (1), SA и BP (3).

Ответ: 13