5. Основание прямой призмы – треугольник со сторонами 5 см и 3 см и углом в 120° между ними. Наибольшая из площадей боковых граней равна 56 см². Найти площадь полной поверхности призмы.

Решение:

1. Найдём площадь основания призмы.

Основание призмы — треугольник со сторонами \( a = 5 \) см, \( b = 3 \) см и углом между ними \( \gamma = 120° \).

Площадь основания \( S_{осн} \) треугольника находится по формуле:

\( S_{осн} = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \)

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 \cdot \sin 120° \)

\( \sin 120° = \sin (180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \) см².

2. Найдём высоту призмы.

Пусть третья сторона основания равна \( c \). По теореме косинусов:

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \)

\( c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 120° \)

\( \cos 120° = \cos (180° - 60°) = -\cos 60° = -\frac{1}{2} \)

\( c^2 = 25 + 9 - 30 \cdot (-\frac{1}{2}) = 34 + 15 = 49 \)

\( c = \sqrt{49} = 7 \) см.

Стороны основания: 5 см, 3 см, 7 см.

Боковые грани призмы — прямоугольники с высотой призмы \( H \) и сторонами основания.

Площади боковых граней: \( 5H \), \( 3H \), \( 7H \).

Наибольшая площадь боковой грани равна 56 см². Это соответствует наибольшей стороне основания, т.е. 7 см.

\( 7H = 56 \)

\( H = \frac{56}{7} = 8 \) см.

3. Найдём площадь полной поверхности призмы.

Площадь полной поверхности \( S_{полн} \) призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \) равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Периметр основания \( P = a + b + c = 5 + 3 + 7 = 15 \) см.

\( S_{бок} = P \cdot H = 15 \cdot 8 = 120 \) см².

\( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \)

\( S_{полн} = 2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4} + 120 \)

\( S_{полн} = \frac{15\sqrt{3}}{2} + 120 \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности призмы \( S_{полн} = 120 + \frac{15\sqrt{3}}{2} \) см².