4. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 2 см, а высота равна 2 см. Найти угол наклона бокового ребра к плоскости основания, объём пирамиды.

Решение:

1. Найдём объём пирамиды.

Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной \( a = 2 \) см.

Площадь основания \( S_{осн} \) правильного треугольника находится по формуле:

\( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \)

\( S_{осн} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \) см².

Высота пирамиды \( h = 2 \) см.

Объём пирамиды \( V \) находится по формуле:

\( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \)

\( V = \frac{1}{3} \sqrt{3} \cdot 2 = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \) см³.

2. Найдём угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

В основании правильной треугольной пирамиды точка пересечения медиан (центр основания O) равноудалена от вершин треугольника. Пусть боковое ребро — SB.

\( AO = BO = CO = R \), где R — радиус описанной окружности.

R находится по формуле:

\( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \)

\( R = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) см.

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол между боковым ребром (например, SB) и его проекцией на плоскость основания (отрезком OB).

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOB. Катеты: SO = 2 см (высота пирамиды), OB = \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) см (радиус описанной окружности).

Тангенс угла наклона \( \alpha \) равен отношению противолежащего катета (SO) к прилежащему катету (OB):

\( \tan \alpha = \frac{SO}{OB} = \frac{2}{\frac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{2 \cdot 3}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \)

Угол, тангенс которого равен \( \sqrt{3} \), равен 60°.

\( \alpha = \arctan(\sqrt{3}) = 60° \).

Ответ: Объём пирамиды \( V = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) см³. Угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен 60°.