1. Даны точки A, B и C такие, что AB = 2 см, BC = 5 см, AC = 3 см. Сколько существует плоскостей, содержащих точки A, B и C? Ответ обоснуйте.

Для трёх точек с такими расстояниями должен выполняться строгий признак существования треугольника. Однако сумма двух меньших расстояний равна наибольшему: 2 + 3 = 5. Поэтому точки не могут образовать невырожденный треугольник, а по неравенству треугольника они должны лежать на одной прямой, причём B находится между A и C.

Через одну прямую проходит бесконечно много плоскостей, поэтому, если рассматривать только эти попарные расстояния, таких плоскостей бесконечно много. Но в условии есть существенная тонкость: если точки A, B и C должны быть различными, указанные расстояния несовместимы — при AB = 2 и AC = 3 расстояние BC может быть не более 5, а равенство возможно только при расположении B между A и C; тогда BC = AB + AC = 5, что в действительности возможно. Значит, точки различны и коллинеарны.

Ответ: бесконечно много плоскостей.