3. Середина стороны AB, а также середины диагоналей AD и BD выпуклого пятиугольника ABCDE принадлежат плоскости α. Докажите, что все вершины пятиугольника принадлежат плоскости α.

Обозначим через M середину AB, через P — середину AD, через Q — середину BD. Все три точки принадлежат α.

1. Точки P и Q принадлежат плоскости ABD. Прямая PQ лежит в этой плоскости. По теореме о средней линии треугольника ABD, PQ параллельна AB. Так как M лежит на AB и также принадлежит α, прямая AB лежит в α. Значит, A и B принадлежат α.

2. Поскольку P лежит на AD и принадлежит α, а A принадлежит α, прямая AD лежит в α. Поэтому D принадлежит α.

3. Пятиугольник выпуклый, значит, диагонали AD и BD лежат внутри него и пересекаются. Они не лежат на одной прямой, поэтому точки A, B и D неколлинеарны и задают плоскость ABD. Плоскость α содержит эти три точки, следовательно, α совпадает с плоскостью ABD.

4. Вершины C и E принадлежат плоскости пятиугольника ABCDE, то есть плоскости ABD. Следовательно, C и E принадлежат α.

Все вершины пятиугольника принадлежат плоскости α.