1) Дайте определение подобных треугольников. Назовите признаки подобия треугольников. 2) Сформулируйте признаки параллелограмма. (Докажите один из них по выбору)

Билет №10

• 1. Определение и признаки подобия треугольников: Определение: Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Признаки подобия треугольников:
  • По двум углам (AA): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • По двум сторонам и углу между ними (SAS): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
  • По трем сторонам (SSS): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• 2. Признаки параллелограмма: Признаки:
  • Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник - параллелограмм.
  • Если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то четырехугольник - параллелограмм.
  • Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник - параллелограмм.
  • Если у четырехугольника одна пара противоположных сторон параллельна и равна, то четырехугольник - параллелограмм.
  Доказательство признака: Если у четырехугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник - параллелограмм. Пусть дан четырехугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, причем AO = OC и BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и COD.
  • AO = OC (по условию).
  • BO = OD (по условию).
  • $$\angle AOB = \angle COD$$ (как вертикальные углы).
  По двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников), треугольники AOB и COD равны. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и $$\angle BAO = \angle DCO$$ (как накрест лежащие при пересечении прямых AB и DC секущей AC). Так как $$\angle BAO = \angle DCO$$, то AB || DC. Аналогично, рассмотрим треугольники BOC и DOA.
  • BO = OD (по условию).
  • CO = OA (по условию).
  • $$\angle BOC = \angle DOA$$ (как вертикальные углы).
  По двум сторонам и углу между ними, треугольники BOC и DOA равны. Из равенства треугольников следует, что BC = DA и $$\angle CBO = \angle ADO$$ (как накрест лежащие при пересечении прямых BC и AD секущей BD). Так как $$\angle CBO = \angle ADO$$, то BC || AD. Таким образом, у четырехугольника ABCD противоположные стороны попарно параллельны (AB || DC и BC || AD). Следовательно, ABCD - параллелограмм.