1) Дайте определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Запишите формулы соотношений, основное тригонометрическое тождество 2) Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.

Билет №2

• 1. Определение тригонометрических функций острого угла:
  • Синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе: \[ \sin \alpha = \frac{a}{c} \]
  • Косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе: \[ \cos \alpha = \frac{b}{c} \]
  • Тангенс угла - это отношение противолежащего катета к прилежащему: \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \]
  Формулы соотношений: \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]
• 2. Теорема об отношении площадей подобных треугольников: Формулировка: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство: Пусть два подобных треугольника имеют коэффициент подобия k. Пусть их площади равны S1 и S2, а соответствующие стороны равны a1, b1, c1 и a2, b2, c2. Так как треугольники подобны, то \[ \frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} = \frac{c1}{c2} = k \] Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \[ S1 = \frac{1}{2} a1 h1 \] \[ S2 = \frac{1}{2} a2 h2 \] Отношение площадей: \[ \frac{S1}{S2} = \frac{\frac{1}{2} a1 h1}{\frac{1}{2} a2 h2} = \frac{a1}{a2} \times \frac{h1}{h2} \] Так как треугольники подобны, то отношение высот, проведенных к соответствующим сторонам, равно отношению этих сторон: \[ \frac{h1}{h2} = \frac{a1}{a2} = k \] Следовательно: \[ \frac{S1}{S2} = k \times k = k^2 \]Что и требовалось доказать.