1) Расскажите о взаимном расположении двух окружностей, о касании окружностей. Общие касательные к двум окружностям. 2) Запишите формулу площади треугольника, следствия из нее, формулу Герона. Запишите вывод формулы площади треугольника.

Билет №11

• 1. Взаимное расположение окружностей и общие касательные: Взаимное расположение:
  • Две окружности могут:
    • Пересекаться (две общие точки).
    • Касаться (одна общая точка).
    • Не пересекаться (не иметь общих точек).
  Касание окружностей:
  • Внешнее касание: Окружности касаются друг друга вне. Расстояние между центрами равно сумме радиусов: $$d = R + r$$.
  • Внутреннее касание: Одна окружность находится внутри другой и касается ее. Расстояние между центрами равно разности радиусов: $$d = |R - r|$$.
  Общие касательные:
  • Две пересекающиеся или касающиеся снаружи окружности имеют две общие касательные (если центры не совпадают).
  • Две внешне касающиеся окружности имеют три общие касательные (две внешние и одну внутреннюю, проходящую через точку касания).
  • Две непересекающиеся окружности (одна вне другой) имеют четыре общие касательные (две внешние и две внутренние).
  • Две внутренне касающиеся окружности имеют одну общую касательную.
  • Концентрические окружности (с одинаковым центром) не имеют общих касательных.
• 2. Формула площади треугольника, формула Герона: Основная формула площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} a h \] где 'a' - сторона треугольника, 'h' - высота, проведенная к этой стороне. Формула Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] где a, b, c - стороны треугольника, а p - полупериметр ($$p = \frac{a+b+c}{2}$$). Вывод формулы площади треугольника (через основание и высоту): Пусть дан произвольный треугольник ABC. Проведем высоту BH к стороне AC. Высота делит сторону AC на два отрезка: AH и HC (в случае остроугольного треугольника) или AH и HC (в случае тупоугольного, где H лежит вне отрезка AC). Случай 1: Остроугольный треугольник. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей прямоугольных треугольников ABH и CBH. \[ S_{ABC} = S_{ABH} + S_{CBH} \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} AH \times BH + \frac{1}{2} HC \times BH = \frac{1}{2} BH (AH + HC) \] Так как $$AH + HC = AC$$, то \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} BH \times AC = \frac{1}{2} a h \] где $$a = AC$$ (основание) и $$h = BH$$ (высота). Случай 2: Тупоугольный треугольник (угол C тупой). Высота BH падает вне стороны AC. Площадь треугольника ABC равна разности площадей треугольников ABH и CBH. \[ S_{ABC} = S_{ABH} - S_{CBH} \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} AH \times BH - \frac{1}{2} CH \times BH = \frac{1}{2} BH (AH - CH) \] Так как $$AH - CH = AC$$, то \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} BH \times AC = \frac{1}{2} a h \] где $$a = AC$$ (основание) и $$h = BH$$ (высота). Случай 3: Прямоугольный треугольник (угол C прямой). Высота BH совпадает с катетом BC. Основанием можно взять катет AC. \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} AC \times BC \] Так как BC является высотой к основанию AC, формула $$S = \frac{1}{2} a h$$ сохраняется. Таким образом, формула $$S = \frac{1}{2} a h$$ верна для любого треугольника.