1. Диагональ куба равна √75. Найдите его объем.

Решение:

1. Формула объема куба: \( V = a^3 \), где \( a \) — длина ребра куба.
2. Связь диагонали с ребром: Диагональ куба \( d \) связана с ребром \( a \) соотношением \( d = a\sqrt{3} \).
3. Находим ребро: Из условия \( d = \sqrt{75} \). Следовательно, \( a\sqrt{3} = \sqrt{75} \). Возведем обе части в квадрат: \( 3a^2 = 75 \), \( a^2 = 25 \), \( a = 5 \).
4. Находим объем: \( V = a^3 = 5^3 = 125 \).

Ответ: 125