4. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро ЅА равно 14, сторона основания равна 10√2. Найдите объём пирамиды.

Решение:

1. Формула объема пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( H \) — высота пирамиды.
2. Площадь основания: Основание — квадрат со стороной \( a = 10\sqrt{2} \). \( S_{осн} = a^2 = (10\sqrt{2})^2 = 100 \cdot 2 = 200 \).
3. Находим высоту: В правильной четырёхугольной пирамиде высота, боковое ребро и половина диагонали основания образуют прямоугольный треугольник. Диагональ основания \( D = a\sqrt{2} = (10\sqrt{2})\sqrt{2} = 10 \cdot 2 = 20 \). Половина диагонали основания равна \( \frac{D}{2} = \frac{20}{2} = 10 \). По теореме Пифагора: \( H^2 + (\frac{D}{2})^2 = SA^2 \). \( H^2 + 10^2 = 14^2 \). \( H^2 + 100 = 196 \). \( H^2 = 196 - 100 = 96 \). \( H = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6} \).
4. Находим объем: \( V = \frac{1}{3} \cdot 200 \cdot 4\sqrt{6} = \frac{800\sqrt{6}}{3} \).

Ответ: 800√6 / 3