1. Диагональ TP выпуклого четырёхугольника MTKP перпендикулярна сторонам TM и KP. Острые углы этого четырёхугольника равны 31° и 49°. Найдите величину наибольшего угла четырёхугольника MTKP.

Обозначим острые углы при вершинах M и K: они равны 31° и 49°. Диагональ TP делит четырёхугольник на два прямоугольных треугольника.

В треугольнике MTP угол при T равен 90°, поэтому угол MPT равен 90° − ∠TMP. В треугольнике TKP угол при P равен 90°, поэтому угол PTK равен 90° − ∠TKP.

Угол четырёхугольника при P складывается из углов MPT и TPK, то есть равен 180° − ∠TMP. Угол при T равен 180° − ∠TKP. Следовательно, эти углы равны 149° и 131°.

Ответ: 149°.