1. Доказать методом математической индукции [?]4^n/(n+1) ≤ (2n)!/(n!)².

Докажем неравенство для натуральных n.

1. База индукции: при n = 1 получаем \(\frac{4}{2}=2\) и \(\frac{2!}{(1!)^2}=2\). Неравенство верно.

2. Переход: предположим, что для некоторого натурального n верно \(\frac{4^n}{n+1}\leq\frac{(2n)!}{(n!)^2}\). Тогда

   \[\frac{4^{n+1}}{n+2}=\frac{4^n}{n+1}\cdot\frac{4(n+1)}{n+2}\leq\frac{(2n)!}{(n!)^2}\cdot\frac{4(n+1)}{n+2}.\]

   Достаточно проверить, что \(\frac{4(n+1)}{n+2}\leq\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}\). После умножения на положительные знаменатели это равносильно \(4(n+1)^3\leq(2n+2)(2n+1)(n+2)\), или \(2(n+1)^2\leq(2n+1)(n+2)\). Разность правой и левой частей равна \(n\geq0\), поэтому неравенство верно.

   Следовательно, \(\frac{4^{n+1}}{n+2}\leq\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}\), и индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции исходное неравенство верно для всех натуральных \(n\).