4. Доказать, что $\lim_{n\to\infty}x_n=a$, если $x_n=1/\sqrt n$, $a=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Доказать, что $\lim_{n\to\infty}x_n=a$, если $x_n=1/\sqrt n$, $a=0$.$ Фото задания

4. Доказать, что $\lim_{n\to\infty}x_n=a$, если $x_n=1/\sqrt n$, $a=0$.

Accepted Answer

По определению предела последовательности нужно показать, что для любого $\varepsilon>0$ найдётся номер $N$, такой что при $n>N$ выполняется $|x_n-a|<\varepsilon$.

Подставим заданные значения: $|x_n-a|=\left|\frac1{\sqrt n}-0\right|=\frac1{\sqrt n}$.
Выберем натуральное $N>\frac1{\varepsilon^2}$. Тогда при $n>N$ имеем $\sqrt n>\frac1\varepsilon$, а значит, $\frac1{\sqrt n}<\varepsilon$.

Условие определения выполнено для любого $\varepsilon>0$.

Следовательно, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt n}=0$.

4. Доказать, что \(\lim_{n\to\infty}x_n=a\), если \(x_n=1/\sqrt n\), \(a=0\).

Ответ: