1. Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,5 км от места отправления. Один идёт со скоростью 4 км/ч, а другой — со скоростью 5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?

Решение:

Обозначим расстояние до опушки леса как \( S = 4.5 \) км.

Скорость первого человека \( v_1 = 4 \) км/ч.

Скорость второго человека \( v_2 = 5 \) км/ч.

1. Время, за которое первый человек доходит до опушки: \( t_{1} = \frac{S}{v_1} = \frac{4.5}{4} = 1.125 \) часа.
2. Время, за которое второй человек доходит до опушки: \( t_{2} = \frac{S}{v_2} = \frac{4.5}{5} = 0.9 \) часа.
3. Второй человек возвращается обратно с той же скоростью \( v_2 = 5 \) км/ч.
4. Пусть \( t \) — время от начала движения, когда произойдёт встреча.
5. Когда они встретятся, первый человек пройдёт расстояние \( S_1 = v_1 \cdot t \).
6. Второй человек в момент встречи будет на обратном пути. Расстояние, которое он пройдёт от опушки обратно, равно \( S_2 = v_2 \cdot (t - t_2) \).
7. Условие встречи: первый прошёл расстояние \( S_1 \), а второй прошёл от опушки расстояние \( S - S_2 \). Они встретятся, когда их пройденные расстояния от точки отправления будут равны: \( S_1 = S - S_2 \).
8. Подставим выражения для \( S_1 \) и \( S_2 \): \( v_1 \cdot t = S - v_2 \cdot (t - t_2) \)
9. \( 4t = 4.5 - 5(t - 0.9) \)
10. \( 4t = 4.5 - 5t + 4.5 \)
11. \( 4t + 5t = 4.5 + 4.5 \)
12. \( 9t = 9 \)
13. \( t = 1 \) час.
14. Это время меньше, чем время, за которое первый доходит до опушки (1.125 часа), и меньше, чем время, за которое второй доходит и возвращается (0.9 + 0.9 = 1.8 часа). Значит, встреча произойдёт до того, как первый дойдёт до опушки, и второй вернётся.
15. Расстояние от точки отправления, на котором произойдёт встреча: \( S_{встречи} = v_1 \cdot t = 4 \) км/ч \( \cdot 1 \) ч \( = 4 \) км.

Ответ: 4 км.