3. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 513 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 54 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).

Скорость течения реки \( v_{теч} = 4 \) км/ч.

Расстояние до пункта назначения \( S = 513 \) км.

1. Скорость теплохода по течению: \( v_{по\cdotтеч} = v + v_{теч} = v + 4 \) км/ч.
2. Время движения по течению: \( t_{по\cdotтеч} = \frac{S}{v + 4} = \frac{513}{v+4} \) часа.
3. Скорость теплохода против течения: \( v_{против\cdotтеч} = v - v_{теч} = v - 4 \) км/ч.
4. Время движения против течения: \( t_{против\cdotтеч} = \frac{S}{v - 4} = \frac{513}{v-4} \) часа.
5. Стоянка длилась \( t_{стоянки} = 8 \) часов.
6. Общее время в пути (от отплытия до возвращения) составило \( T_{общ} = 54 \) часа.
7. Общее время складывается из времени движения по течению, времени стоянки и времени движения против течения:

\[ T_{общ} = t_{по\cdotтеч} + t_{стоянки} + t_{против\cdotтеч} \]

\[ 54 = \frac{513}{v+4} + 8 + \frac{513}{v-4} \]

Вычтем 8 из обеих частей уравнения:

\[ 54 - 8 = \frac{513}{v+4} + \frac{513}{v-4} \]

\[ 46 = 513 \left( \frac{1}{v+4} + \frac{1}{v-4} \right) \]

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю \( (v+4)(v-4) = v^2 - 16 \):

\[ 46 = 513 \left( \frac{v-4 + v+4}{(v+4)(v-4)} \right) \]

\[ 46 = 513 \left( \frac{2v}{v^2 - 16} \right) \]

Разделим обе части на 2:

\[ 23 = 513 \left( \frac{v}{v^2 - 16} \right) \]

Теперь выразим \( v \):

\[ 23(v^2 - 16) = 513v \]

\[ 23v^2 - 23 \cdot 16 = 513v \]

\[ 23v^2 - 368 = 513v \]

\[ 23v^2 - 513v - 368 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-513)^2 - 4 \cdot 23 \cdot (-368) \]

\[ D = 263169 + 33856 \]

\[ D = 297025 \]

Найдем корень из дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{297025} = 545 \]

Теперь найдем значения \( v \):

\[ v_1 = \frac{513 + 545}{2 \cdot 23} = \frac{1058}{46} = 23 \]

\[ v_2 = \frac{513 - 545}{2 \cdot 23} = \frac{-32}{46} = -\frac{16}{23} \]

Так как скорость теплохода не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.

\( v = 23 \) км/ч.

Также скорость теплохода в неподвижной воде должна быть больше скорости течения, чтобы он мог двигаться против течения. \( 23 > 4 \), что выполняется.

Ответ: 23 км/ч.