1. Изобразив схематически графики, выясните, имеет ли решения система уравнений и если имеет, то сколько: a) { y = x² - 5, y = -x² - 3; b) { x² + y² = 4, y = x² - 4.

Задание 1. Системы уравнений

а) { y = x² - 5,
y = -x² - 3;

Графики:

Первое уравнение \( y = x^2 - 5 \) — это парабола с вершиной в точке (0, -5), ветви направлены вверх.

Второе уравнение \( y = -x^2 - 3 \) — это парабола с вершиной в точке (0, -3), ветви направлены вниз.

Анализ:

Вершина первой параболы находится в точке (0, -5). Максимальное значение второй параболы — 3 (при \( x = 0 \)). Так как вершины парабол находятся на оси Y, и одна ветвями вверх, а другая вниз, и при этом максимальное значение для второй параболы (-3) меньше, чем минимальное значение для первой (-5), графики не пересекаются.

Вывод: Система не имеет решений.

б) { x² + y² = 4,
y = x² - 4.

Графики:

Первое уравнение \( x^2 + y^2 = 4 \) — это окружность с центром в точке (0,0) и радиусом 2.

Второе уравнение \( y = x^2 - 4 \) — это парабола с вершиной в точке (0, -4), ветви направлены вверх.

Анализ:

Подставим \( y = x^2 - 4 \) в первое уравнение:

\[ x^2 + (x^2 - 4)^2 = 4 \]

\[ x^2 + x^4 - 8x^2 + 16 = 4 \]

\[ x^4 - 7x^2 + 12 = 0 \]

Сделаем замену \( t = x^2 \), где \( t > 0 \):

\[ t^2 - 7t + 12 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = (-7)^2 - 4 · 1 · 12 = 49 - 48 = 1 \]

\[ t_1 = \frac{7 + 1}{2} = 4 \]

\[ t_2 = \frac{7 - 1}{2} = 3 \]

Так как \( t = x^2 \), то:

\[ x^2 = 4 ⇒ x = ± 2 \]

\[ x^2 = 3 ⇒ x = ± √{3} \]

Найдем соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):

Если \( x = 2 \), то \( y = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \).

Если \( x = -2 \), то \( y = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \).

Если \( x = √{3} \), то \( y = (√{3})^2 - 4 = 3 - 4 = -1 \).

Если \( x = -√{3} \), то \( y = (-√{3})^2 - 4 = 3 - 4 = -1 \).

Вывод: Система имеет четыре решения.