6. При каких значениях k система уравнений {x² + y² = 36, {x - y = k

Задание 6. Значение параметра k

У нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36 \ x - y = k
\end{cases} \]

Первое уравнение — это окружность с центром в начале координат \( (0, 0) \) и радиусом \( R = 6 \).

Второе уравнение — это прямая \( y = x - k \), которая имеет угловой коэффициент 1 и пересекает ось Y в точке \( -k \).

Чтобы система имела решения, прямая должна пересекать окружность. Это возможно, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше или равно радиусу окружности.

Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) выглядит так: \( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{√{A^2 + B^2}} \).

В нашем случае, центр окружности \( (0, 0) \), а прямая \( x - y - k = 0 \), так что \( A=1, B=-1, C=-k \).

Расстояние \( d = \frac{|1 · 0 + (-1) · 0 - k|}{√{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-k|}{√{2}} = \frac{|k|}{√{2}} \).

Для того чтобы система имела решения, расстояние \( d \) должно быть меньше или равно радиусу \( R=6 \):

\[ \frac{|k|}{√{2}} ≤ 6 \]

\[ |k| ≤ 6√{2} \]

Это означает, что \( -6√{2} ≤ k ≤ 6√{2} \).

Ответ: система имеет решения при \( k ∈ [-6√{2}; 6√{2}] \).