3. Решите графически систему уравнений: a) { xy = -1, ly - x = -2; б) { x² + y² = 16, ly - 3x = 12; в) { x² + y² = 4, ly + 11 = 3x; г) { y = x² - 4, ly = x - 2.

Задание 3. Графическое решение систем уравнений

а) { xy = -1,
ly - x = -2;

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = x - 2 \). Теперь построим графики функций \( y = -1/x \) (гипербола) и \( y = x - 2 \) (прямая).

Для \( y = -1/x \):

• Если \( x = 1 \), то \( y = -1 \). Точка (1, -1).
• Если \( x = -1 \), то \( y = 1 \). Точка (-1, 1).
• Если \( x = 2 \), то \( y = -0.5 \). Точка (2, -0.5).
• Если \( x = -2 \), то \( y = 0.5 \). Точка (-2, 0.5).

Для \( y = x - 2 \):

• Если \( x = 0 \), то \( y = -2 \). Точка (0, -2).
• Если \( x = 2 \), то \( y = 0 \). Точка (2, 0).
• Если \( x = -1 \), то \( y = -3 \). Точка (-1, -3).

Графики пересекаются в двух точках. Приравняем уравнения:

\[ -1/x = x - 2 \]

\[ -1 = x(x - 2) \]

\[ -1 = x^2 - 2x \]

\[ x^2 - 2x + 1 = 0 \]

\[ (x - 1)^2 = 0 \]

\[ x = 1 \]

Найдем \( y \): \( y = 1 - 2 = -1 \).

Ответ: система имеет одно решение: (1, -1).

б) { x² + y² = 16,
ly - 3x = 12;

Первое уравнение — окружность с центром (0,0) и радиусом 4. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 3x + 12 \).

Подставим \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 + (3x + 12)^2 = 16 \]

\[ x^2 + 9x^2 + 72x + 144 = 16 \]

\[ 10x^2 + 72x + 128 = 0 \]

Разделим на 2:

\[ 5x^2 + 36x + 64 = 0 \]

Найдем дискриминант: \( D = 36^2 - 4 · 5 · 64 = 1296 - 1280 = 16 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-36 - √{16}}{2 · 5} = \frac{-36 - 4}{10} = \frac{-40}{10} = -4 \).

\( x_2 = \frac{-36 + √{16}}{2 · 5} = \frac{-36 + 4}{10} = \frac{-32}{10} = -3.2 \).

Найдем \( y \):

При \( x = -4 \), \( y = 3(-4) + 12 = -12 + 12 = 0 \).

При \( x = -3.2 \), \( y = 3(-3.2) + 12 = -9.6 + 12 = 2.4 \).

Ответ: система имеет два решения: (-4, 0) и (-3.2, 2.4).

в) { x² + y² = 4,
ly + 11 = 3x;

Первое уравнение — окружность с центром (0,0) и радиусом 2. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 3x - 11 \).

Подставим \( y \) в первое уравнение:

\[ x^2 + (3x - 11)^2 = 4 \]

\[ x^2 + 9x^2 - 66x + 121 = 4 \]

\[ 10x^2 - 66x + 117 = 0 \]

Найдем дискриминант: \( D = (-66)^2 - 4 · 10 · 117 = 4356 - 4680 = -324 \).

Дискриминант отрицательный, значит, действительных решений нет.

Ответ: система не имеет решений.

г) { y = x² - 4,
ly = x - 2.

Построим графики параболы \( y = x^2 - 4 \) и прямой \( y = x - 2 \).

Для \( y = x^2 - 4 \):

• Вершина (0, -4).
• Пересечение с осью X: \( x^2 - 4 = 0 ⇒ x = ± 2 \). Точки (2, 0) и (-2, 0).

Для \( y = x - 2 \):

• Пересечение с осью Y: (0, -2).
• Пересечение с осью X: \( x - 2 = 0 ⇒ x = 2 \). Точка (2, 0).

Найдем точки пересечения, приравняв уравнения:

\[ x^2 - 4 = x - 2 \]

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ (x - 2)(x + 1) = 0 \]

\[ x_1 = 2, x_2 = -1 \]

Найдем \( y \):

При \( x = 2 \), \( y = 2 - 2 = 0 \).

При \( x = -1 \), \( y = -1 - 2 = -3 \).

Ответ: система имеет два решения: (2, 0) и (-1, -3).