1. К диагонали AC прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр DE так, что AE = 8 см, CE = 4 см. Найти: а) AB : BC; б) PABCD; в) SABCD

Разберем решение этой задачи пошагово. **1. Анализ условия:** - У нас есть прямоугольник ABCD, и к его диагонали AC проведен перпендикуляр DE. - Даны отрезки AE = 8 см и CE = 4 см. **2. Нахождение AC:** - Отрезок AC состоит из AE и CE. - AC = AE + CE = 8 + 4 = 12 см. **3. Нахождение DE:** - Треугольник ADE - прямоугольный, так как DE перпендикулярна AC. Используем теорему Пифагора для треугольника CDE: - \(CD^2 = DE^2 + CE^2\) , но нам надо DE, значит применим теорему Пифагора к треугольнику ADE. - \(AD^2 = DE^2 + AE^2 \) - Мы можем так же выразить \(DE^2\) из треугольника CDE: \(DE^2 = CD^2 - CE^2\) - Так как AD=BC и AB=CD, то \(AD^2 = AB^2 + BC^2\) , мы имеем \(AC^2 = AB^2 + BC^2\) и \(AC^2= AD^2 + CD^2\) следовательно \(AE * CE = DE^2\). Следовательно \(DE^2 = 8*4 = 32\) и \(DE = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\). **4. Нахождение AD (BC):** - Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADE, \(AD^2 = AE^2 + DE^2\), \(AD^2 = 8^2 + (4\sqrt{2})^2\) \(AD^2 = 64 + 32 = 96\). Значит \(AD=BC= \sqrt{96} = 4\sqrt{6}\) **5. Нахождение CD (AB):** - Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDE, \(CD^2 = CE^2 + DE^2\), \(CD^2 = 4^2 + (4\sqrt{2})^2\) \(CD^2 = 16 + 32 = 48\). Значит \(CD=AB= \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) **a) AB : BC:** - \(AB : BC = 4\sqrt{3} : 4\sqrt{6} = \sqrt{3} : \sqrt{6} = 1 : \sqrt{2}\) **б) PABCD (периметр):** - \(P_{ABCD} = 2*(AB+BC) = 2*(4\sqrt{3}+4\sqrt{6}) = 8\sqrt{3} + 8\sqrt{6}\) см. **в) SABCD (площадь):** - \(S_{ABCD} = AB * BC = 4\sqrt{3} * 4\sqrt{6} = 16 * \sqrt{18} = 16 * 3\sqrt{2} = 48\sqrt{2}\) см². **Ответ:** а) \(AB : BC = 1 : \sqrt{2}\) б) Периметр \(P_{ABCD} = 8\sqrt{3} + 8\sqrt{6}\) см в) Площадь \(S_{ABCD} = 48\sqrt{2}\) см².