4. На сторонах MN и NK треугольника MNK взяты точки A и B соответственно так, что ∠ABN = ∠M. Отрезок NE является биссектрисой угла ANB, AE : EB = 2 : 3. Найдите отношение NK к MN.

**1. Анализ условия:** - Треугольник MNK. - Точки A и B на сторонах MN и NK, соответственно, так, что ∠ABN = ∠M. - NE - биссектриса угла ANB. - AE : EB = 2 : 3. - Найти отношение NK к MN. **2. Использование свойства биссектрисы:** - По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, для треугольника ANB и биссектрисы NE: \(\frac{AN}{NB} = \frac{AE}{EB}\). Мы знаем что \(\frac{AE}{EB} = \frac{2}{3}\), следовательно \(\frac{AN}{NB} = \frac{2}{3}\) **3. Анализ подобия треугольников:** - Рассмотрим треугольники ABN и MNK. У них ∠N - общий. Так как ∠ABN = ∠M, то треугольники ABN и MNK подобны по двум углам. Следовательно \(\frac{AN}{MN} = \frac{NB}{NK} = \frac{AB}{MK}\) - Из пропорции \(\frac{AN}{MN} = \frac{NB}{NK}\) выразим NK : MN: - \(\frac{NK}{MN} = \frac{NB}{AN}\) Так как \(\frac{AN}{NB} = \frac{2}{3}\), то \(\frac{NB}{AN} = \frac{3}{2}\) Значит, \(\frac{NK}{MN} = \frac{3}{2}\) **Ответ:** Отношение NK к MN равно 3:2.