2. ABCD — прямоугольная трапеция (∠A = 90°). Точка E лежит на основании AD так, что CE перпендикулярен AD и AE = DE. Точка O — середина диагонали AC. Докажите, что BO : BC = CD : AD. Найдите площадь пятиугольника ABOCD, если площадь треугольника ACD равна 20 см².

**1. Анализ условия:** - ABCD - прямоугольная трапеция с прямым углом A. - Точка E на AD, CE перпендикулярна AD, AE = DE. - O - середина диагонали AC. **2. Доказательство BO : BC = CD : AD:** - Т.к. E - середина AD и CE перпендикулярен AD, то треугольник ACD равнобедренный, и CE является высотой и медианой, следовательно AC = CD. Также угол DCA равен углу CAD. - Так как O - середина AC, то BO является медианой к гипотенузе AC в треугольнике ABC. В прямоугольном треугольнике ABC медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, BO = AO = CO. Значит, BO = 1/2 * AC. - Треугольник CED подобен треугольнику ABC. Следовательно DC/AC = BC/AB. Так как O середина AC, то AO=OC. - Треугольник BOC - равнобедренный, и BO=CO. Так как CE перпендикулярна AD, то треугольник CDE является прямоугольным. AD=2*AE, CE=AB. Следовательно треугольник CED подобен треугольнику ABC. Из этого следует что BO : BC = CD : AD. - Т.к треугольник ACD равнобедренный, а CE и высота и медиана, то AE = DE. **3. Нахождение площади пятиугольника ABOCD:** - Площадь треугольника ACD дана как 20 см². - Т.к O - середина AC, то площадь AOB = BOC. Площадь треугольника ABC равна площади треугольника ACD. - Следовательно, площадь треугольника ABC = 20 см². - Площадь треугольника AOC = 1/2 площади ABC = 10 см^2 - Площадь пятиугольника ABOCD = Площадь(ABC) + Площадь(ACD) - Площадь (AOC) = Площадь(ABC) + Площадь(ACD) - 1/2*Площадь(ABC) = 20 + 20 - 10=30 cm^2. Значит площадь пятиугольника ABOCD = 30 см^2. **Ответ:** - Доказано, что BO : BC = CD : AD. - Площадь пятиугольника ABOCD равна 30 см².