1. Какие из следующих утверждений верны? 1) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 2) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. 3) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Давай разберём каждое утверждение:

1. Утверждение 1: Любые два прямоугольных треугольника подобны. Это неверно. Чтобы треугольники были подобны, у них должны быть равны два угла. В прямоугольных треугольниках один угол всегда 90°, но остальные углы могут быть разными.
2. Утверждение 2: Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов. Это утверждение также неверно. Связь между сторонами и углами треугольника описывается теоремой синусов (стороны пропорциональны синусам противолежащих углов) и теоремой косинусов (квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними).
3. Утверждение 3: Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. Это верно. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$. Если $$a=6$$ и $$c=10$$, то $$6^2 + b^2 = 10^2$$, $$36 + b^2 = 100$$, $$b^2 = 64$$, $$b = 8$$.
4. Утверждение 4: Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. Это утверждение верно. Это формулировка теоремы косинусов.

Ответ: Верны утверждения 3 и 4.