1. Катер прошел 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Пусть v км/ч — собственная скорость катера. Тогда скорость против течения равна v − 2, а по течению — v + 2. Поскольку катер прошёл весь путь за то же время, за которое он прошёл бы 22 км по озеру, составим уравнение:

\(\dfrac{15}{v-2}+\dfrac{6}{v+2}=\dfrac{22}{v}\), где \(v>2\).

Умножим обе части на \(v(v-2)(v+2)\):

\(15v(v+2)+6v(v-2)=22(v^2-4)\).

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\(21v^2+18v=22v^2-88\),
\(v^2-18v-88=0\),
\((v-22)(v+4)=0\).

Получаем \(v=22\) или \(v=-4\). Отрицательная скорость не подходит, поэтому \(v=22\) км/ч. Проверка: \(15/20+6/24=0{,}75+0{,}25=1\) ч, и \(22/22=1\) ч.

Ответ: собственная скорость катера — 22 км/ч.