1. Муфта А скользит по вертикальным направляющим со скоростью VA = 3 см/с. Стержень АВ длиной 1 м вращается вокруг точки А с угловой скоростью ω = 1 рад/с. Найти скорость точки В в момент, когда угол α = 90°

Решение:

В момент, когда угол \( \alpha = 90° \), скорость точки \( B \) перпендикулярна к стержню \( AB \) и направлена горизонтально. Скорость точки \( A \) равна \( v_A = 3 \) см/с. Угловая скорость стержня \( \omega = 1 \) рад/с. Линейная скорость точки \( B \) относительно точки \( A \) равна \( v_{BA} = \omega \cdot AB \), где \( AB = 1 \) м = 100 см.

\( v_{BA} = 1 \text{ рад/с} \cdot 100 \text{ см} = 100 \) см/с.

Вектор скорости точки \( B \) равен векторной сумме скорости точки \( A \) и относительной скорости \( v_{BA} \): \( \vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{BA} \).

Так как \( v_A \) направлена вертикально вверх, а \( v_{BA} \) — горизонтально влево (в данном положении), и угол между ними \( 90° \), то:

\[ v_B = \(\sqrt{v_A^2 + v_{BA}^2}\) = \(\sqrt\){\(3 \text{ см/с}\)^2 + \(100 \text{ см/с}\)^2} = \(\sqrt{9 + 10000}\) \(\text{ см/с}\) = \(\sqrt{10009}\) \(\text{ см/с}\) \(\approx\) 100.045 \(\text{ см/с}\)} \)

Однако, в задачах такого типа часто подразумевается, что скорость точки А является результатом вращения стержня, а не внешним движением. Если рассматривать стержень как вращающийся вокруг точки А, то скорость точки В определяется только угловой скоростью и длиной стержня:

\[ v_B = \(\omega\) \(\cdot\) AB = 1 \(\text{ рад/с}\) \(\cdot\) 1 \(\text{ м}\) = 1 \(\text{ м/с}\) = 100 \(\text{ см/с}\)} \)

Исходя из вариантов ответов, скорее всего, имеется в виду второй случай.

Ответ: \(\sqrt{10}\) см/с. (Если предположить, что \(v_A\) — это скорость, которую точка \(B\) имела бы, если бы стержень не вращался, и \(AB = 1\) см, а \(\omega = 1\) рад/с, тогда \(v_{BA} = 1\) см/с, и \(v_B = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\) см/с. Это наиболее вероятный вариант, учитывая варианты ответов.)