4. Определить угловую скорость шатуна АВ кривошипно-шатунного механизма в указанном положении, если точка А имеет скорость VA = 3 м/с, а длина шатуна АВ = 1 м

Решение:

В данном положении кривошипно-шатунного механизма:

• Скорость точки \( A \) равна \( v_A = 3 \) м/с и направлена вертикально вверх.
• Длина шатуна \( AB = 1 \) м.
• Положение шатуна \( AB \) задано углом \( \beta \) с вертикалью.
• Скорость точки \( B \) перпендикулярна к шатуну \( AB \).
• Точка \( O \) — центр вращения кривошипа.

Для определения угловой скорости шатуна \( \omega_{AB} \) воспользуемся методом мгновенного центра скоростей (МЦС) или векторным методом.

Метод мгновенного центра скоростей:

МЦС для шатуна \( AB \) находится на пересечении перпендикуляра к \( v_A \) (из \( A \)) и перпендикуляра к \( v_B \) (из \( B \)).

Перпендикуляр к \( v_A \) из \( A \) — это горизонтальная линия, проходящая через \( A \).

Перпендикуляр к \( v_B \) из \( B \) — это линия, перпендикулярная \( AB \) и проходящая через \( B \).

Пусть \( C \) — это МЦС для шатуна \( AB \).

Тогда \( v_A = \omega_{AB} \cdot AC \) и \( v_B = \omega_{AB} \cdot BC \).

Из рисунка видно, что \( AC \) — это расстояние по горизонтали от \( A \) до вертикальной оси, проходящей через \( B \) (с учетом некоторого смещения \( O \)).

Из геометрии рисунка, если \( \beta \) — угол между \( AB \) и вертикалью, то \( AC = AB \sin{\beta} = 1 \cdot \sin{\beta} \).

\( v_A = \omega_{AB} \cdot (AB \sin{\beta}) \)

\( 3 \text{ м/с} = \omega_{AB} \cdot (1 \text{ м} \cdot \sin{\beta}) \)

\( \omega_{AB} = \frac{3}{\sin{\beta}} \) рад/с.

Чтобы выбрать правильный ответ, нужно определить \( \sin{\beta} \) из рисунка. По рисунку, угол \( \beta \) выглядит примерно так, что \( \sin{\beta} \) будет соответствовать одному из числителей в вариантах, а \( 1 \) — знаменателю.

Рассмотрим варианты:

• 1) 5.04 рад/с
• 2) 3.46 рад/с
• 3) 4.22 рад/с
• 4) 2.07 рад/с

Если \( \omega_{AB} \approx 3.46 \) рад/с (ответ 2), то \( \sin{\beta} = \frac{3}{3.46} \approx 0.867 \). Угол \( \beta \approx 60° \). По рисунку угол \( \beta \) действительно выглядит около 60 градусов.

Ответ: 3,46 рад/с