1. На доске написаны три числа a, b, c. Каждую минуту они заменяются на 2a − 2b + c − 1, 2b − 2c + a − 1, 2c − 2a + b − 1 соответственно. Докажите, что когда-нибудь на доске появится отрицательное число.

Обозначим сумму чисел на доске через S. После одной замены новая сумма равна

\((2a-2b+c-1)+(2b-2c+a-1)+(2c-2a+b-1)=a+b+c-3=S-3.\)

Значит, через k минут сумма будет равна \(S_0-3k\), где \(S_0\) — начальная сумма. При достаточно большом k эта сумма отрицательна. Если бы все три числа оставались неотрицательными, их сумма тоже была бы неотрицательной. Следовательно, через конечное число минут хотя бы одно число станет отрицательным.