2. В стране несколько городов, попарные расстояния между которыми различны. Путешественник отправился из города A в самый удалённый от него город B, оттуда — в самый удалённый от него город C и т. д. Докажите, что если C не совпадает с A, то путешественник никогда не вернётся в A.

Обозначим последовательные города через \(X_0=A, X_1=B, X_2=C,\ldots\), а длину очередного перехода — через \(d_k=|X_kX_{k+1}|\).

По условию \(X_2\ne X_0\). Поскольку из \(X_1\) путешественник выбирает наиболее удалённый город, а расстояния до разных городов различны, получаем \(d_1=|X_1X_2|>|X_1X_0|=d_0\). Далее, если \(X_{k+1}\ne X_{k-1}\), то наиболее удалённый от \(X_{k+1}\) город не может быть \(X_{k-1}\): расстояние до него равно \(d_k\), тогда как до выбранного города оно строго больше. Поэтому \(d_{k+1}>d_k\), и одновременно \(X_{k+2}\ne X_k\).

По индукции длины переходов строго возрастают, а путешественник никогда не делает немедленный возврат. Если бы он вернулся в A, то в цикле переходов расстояния должны были бы в конце повторить прежнее значение, что противоречит их строгому возрастанию.

Ответ: путешественник не вернётся в A.