3. В таблице 11 × 11 расставлены 1 и −1. Можно умножать все числа в строке или столбце на −1, если сумма в этой строке или этом столбце отрицательна. Докажите, что такие операции нельзя совершать бесконечно.

Рассмотрим сумму всех 121 чисел. Если сумма выбранной строки или столбца равна \(s<0\), то после умножения её элементов на \(-1\) общая сумма изменится на \(-2s>0\). Она увеличивается как минимум на 2, поскольку \(s\) — целое число.

При этом общая сумма не может быть больше 121: каждое из 121 чисел равно 1 или −1. Значит, строгое увеличение общей суммы не может происходить бесконечно.

Ответ: такие операции не могут совершаться бесконечно.