1. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.

Радиус окружности равен AC = 75. Так как точки расположены на отрезке в порядке A, C, B, то AB = AC + CB = 75 + 10 = 85.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому по теореме Пифагора длина касательной равна

\(\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{85^2-75^2}=\sqrt{1600}=40\).

Ответ: 40.