1. На планете расположены 27 деревень — красных и синих. Каждая красная деревня соединена тропами ровно с 4 синими, а каждая синяя — ровно с 5 красными. Однажды на планете появляются ещё 9 красных деревень. Тропы перестраивают так, что каждая красная деревня по-прежнему соединена ровно с 4 синими, а каждая синяя — с одинаковым количеством красных. Со сколькими красными деревнями теперь соединена каждая синяя?

Сначала найдём, сколько было красных и синих деревень. Пусть красных было К, синих — С. Тогда:

\(К+С=27\), а число соединений можно посчитать с обеих сторон: \(4К=5С\).

Из этих равенств получаем \(К=15\), \(С=12\). После появления ещё 9 красных стало 24 красные деревни, а синих осталось 12.

Теперь всего соединений от красных деревень: \(24\cdot4=96\). Поскольку они распределены поровну между 12 синими деревнями, на каждую синюю приходится \(96:12=8\) соединений.

Ответ: 8 красных деревень.