1. На рисунке KMNP — трапеция, CM ∥ PK, CK ∥ MN, PK = KM, MN ≠ KM. Укажите верные утверждения: 1) PKMC — параллелограмм; 2) PKMC — ромб; 3) CKMN — ромб; 4) ∠KCM = ∠MCN; 5) ∠PCK = ∠KCM.

1) Верно. В четырёхугольнике PKMC противоположные стороны PK и CM параллельны. Кроме того, по рисунку PK ∥ CM и PC ∥ KM, поэтому PKMC — параллелограмм.

2) Верно. PKMC — параллелограмм, и его соседние стороны PK и KM равны. Следовательно, это ромб.

3) Неверно. CKMN — параллелограмм: CK ∥ MN, а KM ∥ CN. Если бы он был ромбом, его соседние стороны KM и MN были бы равны, но по условию MN ≠ KM.

4) Неверно. Равенство этих углов из данных условий не следует. Например, из того, что CK ∥ MN и KM ∥ CN, не следует, что CK перпендикулярна CM.

5) Верно. В ромбе PKMC диагональ CK делит углы при вершинах C и K пополам. Поскольку P, C и N лежат на одной прямой, лучи CP и CN противоположны; с учётом параллельности сторон ромба получаем ∠PCK = ∠KCM.

Ответ: верны утверждения 1, 2 и 5.