1. На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD взяты точки M и N так, что AMCN является ромбом. Диагональ AC составляет со стороной AB угол 30°. Найдите сторону ромба, если наибольшая сторона прямоугольника ABCD равна 6.

1. Пусть AB = w, BC = h, AM = x. Поскольку AC образует с AB угол 30°, а ABCD — прямоугольник, \(h/w=\tan 30^\circ=1/\sqrt{3}\). Значит, AB — большая сторона прямоугольника: w = 6, h = 2√3.
2. В ромбе AMCN равны стороны AM и MC. По теореме Пифагора: \(x^2=(6-x)^2+(2\sqrt{3})^2\).
3. Решаем: x² = 36 − 12x + x² + 12, откуда 12x = 48 и x = 4.

Ответ: 4.