5. Докажите, что середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника без параллельных сторон и середины его диагоналей являются вершинами параллелограмма.

Пусть ABCD — данный четырёхугольник; M, N — середины противоположных сторон AB и CD, а P, Q — середины диагоналей AC и BD. (Условие об отсутствии параллельных сторон для доказательства не требуется.)

1. В координатной записи середины имеют положения: \(M=(A+B)/2\), \(N=(C+D)/2\), \(P=(A+C)/2\), \(Q=(B+D)/2\).
2. Тогда \(M+N=(A+B+C+D)/2=P+Q\).
3. Равенство сумм радиус-векторов означает, что середины отрезков MN и PQ совпадают. Следовательно, в четырёхугольнике, образованном точками M, P, N, Q, диагонали MN и PQ делятся пополам.

Если диагонали четырёхугольника делятся пополам, он является параллелограммом. Значит, указанные четыре середины — вершины параллелограмма.