4. Дано: AF=FC, BP=PD. Доказать: EFKP – параллелограмм.

По засечкам на рисунке E — середина AB, а K — середина DC. По условию F — середина AC, P — середина BD.

1. В треугольнике ABC отрезок EF соединяет середины AB и AC, поэтому EF ∥ BC.
2. В треугольнике DBC отрезок PK соединяет середины DB и DC, поэтому PK ∥ BC. Следовательно, EF ∥ PK.
3. В треугольнике ADC отрезок FK соединяет середины AC и DC, поэтому FK ∥ AD.
4. В треугольнике ABD отрезок EP соединяет середины AB и BD, поэтому EP ∥ AD. Следовательно, FK ∥ EP.

В четырёхугольнике EFKP обе пары противоположных сторон параллельны, значит, EFKP — параллелограмм.