№ 1. Найдите область определения и область значений функции \(y=\dfrac{x^2}{x^2+1}\).

Знаменатель определён при всех действительных \(x\), так как \(x^2+1>0\). Поэтому область определения — все действительные числа.

Положим \(t=x^2\), тогда \(t\ge 0\), а функция принимает вид \(y=\dfrac{t}{t+1}=1-\dfrac{1}{t+1}\). При \(t\ge0\) имеем \(0\le y<1\): значение 0 достигается при \(x=0\), а значение 1 не достигается.

Ответ: область определения \(D(y)=\mathbb R\); область значений \(E(y)=[0;1)\).