1. Найдите площадь круга, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна $$5\sqrt{3}$$ см.

Площадь круга можно найти, если известен радиус круга. В данном случае, нам известна сторона правильного (равностороннего) треугольника, вписанного в круг. Связь между стороной равностороннего треугольника $$a$$ и радиусом описанной окружности $$R$$ задается формулой: $$a = R\sqrt{3}$$. 1. **Найдем радиус круга.** Подставим известное значение стороны треугольника $$a = 5\sqrt{3}$$ в формулу: $$5\sqrt{3} = R\sqrt{3}$$ Разделим обе части уравнения на $$\sqrt{3}$$: $$R = 5$$ см 2. **Найдем площадь круга.** Площадь круга вычисляется по формуле: $$S = \pi R^2$$, где $$R$$ - радиус круга. Подставим найденное значение радиуса $$R = 5$$ см в формулу: $$S = \pi (5)^2 = 25\pi$$ см$$^2$$ **Ответ:** Площадь круга равна $$25\pi$$ см$$^2$$.