Найдите площадь заштрихованной области на рисунке, если $$BC = 4$$, $$\angle BAC = 30^\circ$$, O - центр окружности (рис. 12.55).

1. **Определим тип треугольника.** Так как О - центр окружности, а A и C лежат на окружности, то AC - диаметр окружности. Значит, угол ABC опирается на диаметр, следовательно, он прямой: $$\angle ABC = 90^\circ$$. Таким образом, треугольник ABC - прямоугольный. 2. **Найдем угол ACB.** Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, $$\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$$. 3. **Найдем длину стороны AB.** В прямоугольном треугольнике $$AB = BC \cdot \cot(\angle BAC) = 4 \cdot \cot(30^\circ) = 4\sqrt{3}$$. 4. **Найдем площадь треугольника ABC.** Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$$. 5. **Найдем радиус окружности.** $$AC$$ - диаметр, а радиус $$R = \frac{AC}{2}$$. Используем теорему синусов: $$\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = 2R = AC$$. $$AC = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{0.5} = 8$$. Следовательно, радиус $$R = \frac{8}{2} = 4$$. 6. **Найдем площадь круга.** $$S_{круг} = \pi R^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$$. 7. **Найдем площадь заштрихованной области.** Площадь заштрихованной области равна площади круга минус площадь треугольника ABC: $$S_{заштр} = S_{круг} - S_{ABC} = 16\pi - 8\sqrt{3}$$. **Ответ:** Площадь заштрихованной области равна $$16\pi - 8\sqrt{3}$$.