1. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 83.

Решение:

1. Связь между радиусом описанной окружности и стороной квадрата: Радиус описанной окружности квадрата равен половине его диагонали. Диагональ квадрата связана со стороной по формуле: $$d = a\sqrt{2}$$. Следовательно, радиус $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$.
2. Нахождение стороны квадрата: Из формулы $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ выражаем сторону $$a$$: $$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$$.
3. Расчет стороны: Подставляем значение радиуса $$R = 83$$: $$a = 83\sqrt{2}$$.
4. Нахождение площади квадрата: Площадь квадрата $$S = a^2$$.
5. Расчет площади: $$S = (83\sqrt{2})^2 = 83^2 \times (\sqrt{2})^2 = 6889 \times 2 = 13778$$.

Ответ: 13778.