1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

Решение:

Многогранник состоит из двух прямоугольных параллелепипедов.

Первый параллелепипед (нижний):

• Длина = 2
• Ширина = 2
• Высота = 1
• Площадь поверхности = 2 * (2*2 + 2*1 + 2*1) = 2 * (4 + 2 + 2) = 2 * 8 = 16

Второй параллелепипед (верхний):

• Длина = 1
• Ширина = 1
• Высота = 1
• Площадь поверхности = 2 * (1*1 + 1*1 + 1*1) = 2 * (1 + 1 + 1) = 2 * 3 = 6

Общая площадь поверхности:

При соединении параллелепипедов площадь соприкасающихся граней не учитывается. Площадь соприкосновения равна площади грани верхнего параллелепипеда, которая равна 1*1 = 1.

Площадь поверхности = Площадь поверхности нижнего параллелепипеда + Площадь поверхности верхнего параллелепипеда - 2 * (Площадь соприкосновения)

Площадь поверхности = 16 + 6 - 2 * (1) = 22 - 2 = 20.

Альтернативный способ подсчета:

Выделим грани:

• Нижняя грань: 2 * 2 = 4
• Передняя грань: 2 * 1 + 1 * 1 = 2 + 1 = 3
• Боковая грань (слева): 2 * 1 + 1 * 1 = 2 + 1 = 3
• Верхняя грань (частично видимая): 1 * 1 = 1
• Задняя грань: 1 * 1 + 2 * 1 = 1 + 2 = 3
• Боковая грань (справа): 1 * 1 + 2 * 1 = 1 + 2 = 3
• Верхняя грань (частично видимая): 1 * 1 = 1
• Итого: 4 + 3 + 3 + 1 + 3 + 3 + 1 = 18. Проверим еще раз.

  Пересчитаем грани:

  Нижняя: \( 2 \times 2 = 4 \)

  Передняя: \( 2 \times 1 + 1 \times 1 = 2 + 1 = 3 \)

  Боковая (левая): \( 2 \times 1 \)

  Задняя: \( 1 \times 1 \)

  Боковая (правая): \( 1 \times 1 \)

  Верхняя: \( 1 \times 1 \)

  Боковая (крайняя справа): \( 1 \times 1 \)

  Передняя (верхняя ступенька): \( 1 \times 1 \)

  Простой подсчет:

  Нижняя грань: \( 2 \times 2 = 4 \)

  Верхняя грань: \( 1 \times 1 = 1 \)

  Передняя грань (большая): \( 2 \times 1 = 2 \)

  Передняя грань (маленькая): \( 1 \times 1 = 1 \)

  Боковая грань (левая большая): \( 2 \times 1 = 2 \)

  Боковая грань (левая маленькая): \( 1 \times 1 = 1 \)

  Боковая грань (правая): \( 1 \times 1 \)

  Задняя грань (большая): \( 2 \times 1 = 2 \)

  Задняя грань (маленькая): \( 1 \times 1 = 1 \)

  Итого: 4 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 = 15.

  Развёртка:

  Площадь поверхности = сумма площадей всех граней.

  Нижняя грань = \( 2 \times 2 = 4 \)

  Верхняя грань = \( 1 \times 1 = 1 \)

  Передняя грань = \( 2 \times 1 + 1 \times 1 = 3 \)

  Задняя грань = \( 2 \times 1 + 1 \times 1 = 3 \)

  Левая боковая грань = \( 2 \times 1 + 1 \times 1 = 3 \)

  Правая боковая грань = \( 1 \times 1 \)

  Суммарная площадь = 4 + 1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 15.

  Ответ: 15.