6. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 12√3 см. Высота пирамиды равна 6 см. Все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите эти углы.

Решение:

Основание пирамиды — равносторонний треугольник со стороной \( a = 12\sqrt{3} \) см.

Высота пирамиды \( h = 6 \) см.

Так как все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной окружности основания.

Найдем радиус вписанной окружности \( r \) в равносторонний треугольник:

\( r = \frac{S_{осн}}{p_{осн}} \) где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( p_{осн} \) — полупериметр основания.

Площадь равностороннего треугольника: \( S_{осн} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \)

\( S_{осн} = \frac{(12\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(144 \cdot 3) \sqrt{3}}{4} = \frac{432 \sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3} \)

Полупериметр: \( p_{осн} = \frac{3a}{2} = \frac{3 \cdot 12\sqrt{3}}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} \)

Радиус вписанной окружности: \( r = \frac{108\sqrt{3}}{18\sqrt{3}} = 6 \)

Альтернативный способ найти радиус вписанной окружности:

\( r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 6 \)

Угол между боковой гранью и плоскостью основания — это угол между апофемой (высотой боковой грани, проведенной из вершины пирамиды) и радиусом вписанной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды \( h \), радиусом вписанной окружности \( r \) и апофемой \( l \).

\( h = 6 \), \( r = 6 \).

Угол между боковой гранью и плоскостью основания \( \alpha \) таков, что \( \tan(\alpha) = \frac{h}{r} \).

\( \tan(\alpha) = \frac{6}{6} = 1 \)

\( \alpha = \arctan(1) \)

\( \alpha = 45^{\circ} \)

Ответ: 45°.