2. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 3√3. Найдите высоту пирамиды.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники, а основание — равносторонний треугольник.

Пусть \( b \) — длина бокового ребра, \( a \) — длина стороны основания, \( h \) — высота пирамиды, \( r \) — радиус вписанной окружности в основание, \( R \) — радиус описанной окружности вокруг основания.

Дано: \( b = 5 \), \( a = 3\sqrt{3} \).

Найдем радиус описанной окружности вокруг основания:

\( R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 3 \)

Высоту пирамиды \( h \) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром, радиусом описанной окружности и высотой пирамиды. По теореме Пифагора:

\( b^2 = R^2 + h^2 \)

\( 5^2 = 3^2 + h^2 \)

\( 25 = 9 + h^2 \)

\( h^2 = 25 - 9 \)

\( h^2 = 16 \)

\( h = \sqrt{16} \)

\( h = 4 \)

Ответ: 4.