3. В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы.

Решение:

Пусть \( d_1 = 6 \) и \( d_2 = 8 \) — диагонали ромба.

Площадь основания (ромба) \( S_{осн} \) равна половине произведения диагоналей:

\( S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24 \)

Площадь боковой поверхности призмы \( S_{бок} \) равна произведению периметра основания на высоту (боковое ребро, так как призма прямая).

Сначала найдем сторону ромба \( a \). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Получаем прямоугольные треугольники со сторонами \( \frac{d_1}{2} = 3 \) и \( \frac{d_2}{2} = 4 \).

По теореме Пифагора, сторона ромба:

\( a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 \)

\( a^2 = 3^2 + 4^2 \)

\( a^2 = 9 + 16 \)

\( a^2 = 25 \)

\( a = \sqrt{25} = 5 \)

Периметр основания \( P_{осн} \) равен:

\( P_{осн} = 4a = 4 \cdot 5 = 20 \)

Пусть \( h \) — боковое ребро (высота призмы).

\( S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 20h \)

Полная площадь поверхности призмы \( S_{полн} \) равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания:

\( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} \)

Дано: \( S_{полн} = 248 \)

\( 248 = 20h + 2 \cdot 24 \)

\( 248 = 20h + 48 \)

\( 20h = 248 - 48 \)

\( 20h = 200 \)

\( h = \frac{200}{20} \)

\( h = 10 \)

Ответ: 10.