1. Найдите x.

Решение:

Угол \( \angle OMK \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( NK \). Угол \( \angle ONK \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( MK \).

Угол \( \angle MOK = 78^{\circ} \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( MK \).

Значит, дуга \( MK = 78^{\circ} \).

Угол \( \angle MNK \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( MK \).

\( \angle MNK = \frac{1}{2} \times \text{дуга} \text{MK} = \frac{1}{2} \times 78^{\circ} = 39^{\circ} \).

Угол \( \angle OKM \) — центральный угол, опирающийся на дугу \( OM \). Угол \( \angle ONM \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( OM \).

Треугольник \( \triangle MON \) — равнобедренный, так как \( OM = ON \) (радиусы).

\( \angle OMN = \angle ONM \).

Угол \( \angle MON = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \).

\( \angle OMN = \angle ONM = \frac{180^{\circ} - 102^{\circ}}{2} = \frac{78^{\circ}}{2} = 39^{\circ} \).

Угол \( x \) — это \( \angle OMK \). Угол \( \angle OMK \) опирается на дугу \( OK \).

В треугольнике \( \triangle OKN \) \( OK = ON \) (радиусы).

Угол \( \angle OKN \) = \( \angle ONK = 39^{\circ} \).

Угол \( \angle KON = 180^{\circ} - \angle KMN \) — неверно.

Угол \( \angle KNM = 39^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle OKM \), \( OK = OM \).

\( \angle OKM = \angle OMK = x \).

\( \angle KOM = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \) — неверно.

\( \angle KOM \) - это угол \( MOK = 78^{\circ} \).

Значит \( \angle OKM = \angle OMK = x = \frac{180^{\circ} - 78^{\circ}}{2} = \frac{102^{\circ}}{2} = 51^{\circ} \).

Ответ: x = 51°.