1. Найдите значение выражения: a) $$5^{-4} \cdot 5^2$$; б) $$12^{-3} : 12^{-4}$$; в) $$(3^{-1})^{-3}$$.

Решение:

1. а) $$5^{-4} \cdot 5^2$$
   • При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$.
   • $$5^{-4} \cdot 5^2 = 5^{-4+2} = 5^{-2}$$.
   • Чтобы представить отрицательную степень в виде дроби, нужно взять обратное число в положительной степени: $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$.
   • $$5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$$.
2. б) $$12^{-3} : 12^{-4}$$
   • При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: $$a^m : a^n = a^{m-n}$$.
   • $$12^{-3} : 12^{-4} = 12^{-3 - (-4)} = 12^{-3+4} = 12^1 = 12$$.
3. в) $$(3^{-1})^{-3}$$
   • При возведении степени в степень показатели перемножаются: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$.
   • $$(3^{-1})^{-3} = 3^{(-1) \cdot (-3)} = 3^3 = 27$$.

Ответ: а) $$\frac{1}{25}$$; б) $$12$$; в) $$27$$.