3. Преобразуйте выражение: a) $$(\frac{1}{6}x^{-4}y^3)^{-1}$$; б) $$(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}})^{-2} \cdot 10a^7b^3$$.

Решение:

1. а) $$(\frac{1}{6}x^{-4}y^3)^{-1}$$
   • При возведении произведения в степень, каждый множитель возводится в эту степень: $$(abc)^n = a^n b^n c^n$$.
   • $$(\frac{1}{6})^{-1} \cdot (x^{-4})^{-1} \cdot (y^3)^{-1}$$.
   • $$(\frac{1}{6})^{-1} = 6$$.
   • $$(x^{-4})^{-1} = x^{-4 \cdot (-1)} = x^4$$.
   • $$(y^3)^{-1} = y^{3 \cdot (-1)} = y^{-3}$$.
   • Объединяем: $$6x^4y^{-3}$$.
   • Можно представить $$y^{-3}$$ как $$\frac{1}{y^3}$$: $$6x^4\frac{1}{y^3} = \frac{6x^4}{y^3}$$.
2. б) $$(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}})^{-2} \cdot 10a^7b^3$$
   • Сначала возведем дробь в степень $$-2$$: $$(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}})^{-2} = \frac{(3a^{-4})^{-2}}{(2b^{-3})^{-2}}$$.
   • По отдельности возводим числитель и знаменатель в степень $$-2$$:
   • Числитель: $$(3a^{-4})^{-2} = 3^{-2} \cdot (a^{-4})^{-2} = \frac{1}{3^2} \cdot a^{-4 \cdot (-2)} = \frac{1}{9} a^8$$.
   • Знаменатель: $$(2b^{-3})^{-2} = 2^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2} = \frac{1}{2^2} \cdot b^{-3 \cdot (-2)} = \frac{1}{4} b^6$$.
   • Теперь подставим обратно в дробь: $$\frac{\frac{1}{9} a^8}{\frac{1}{4} b^6} = \frac{1}{9} a^8 \cdot \frac{4}{b^6} = \frac{4a^8}{9b^6}$$.
   • Теперь умножим на $$10a^7b^3$$: $$\frac{4a^8}{9b^6} \cdot 10a^7b^3 = \frac{4 \cdot 10 \cdot a^8 \cdot a^7 \cdot b^3}{9 \cdot b^6} = \frac{40 a^{8+7}}{9 b^{6-3}} = \frac{40 a^{15}}{9 b^3}$$.

Ответ: а) $$\frac{6x^4}{y^3}$$; б) $$\frac{40a^{15}}{9b^3}$$.