1. Найдите значение выражения: a) \(-6 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{\sqrt{324}}{6}\) б) \( a^{\frac{3}{2}} : a^{2} \) при \( a = 0,1 \); в) \( 5^{\log_5 3} \cdot \log_2 8 \); г) \( 2\log_2 3 + \log_2 \frac{1}{3} \).

Решение:

1. \( a) \quad -6 \cdot \frac{\sqrt{\frac{1}{4}}}{3} + \frac{\sqrt{324}}{6} = -6 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{3} + \frac{18}{6} = -6 \cdot \frac{1}{6} + 3 = -1 + 3 = 2 \)
2. \( б) \quad a^{\frac{3}{2}} : a^{2} = a^{\frac{3}{2} - 2} = a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}} \). При \( a = 0,1 = \frac{1}{10} \), имеем \( \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{10}}} = \sqrt{10} \).
3. \( в) \quad 5^{\log_5 3} \cdot \log_2 8 = 3 \cdot 3 = 9 \). (По свойству \( a^{\log_a b} = b \) и \( \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \)).
4. \( г) \quad 2\log_2 3 + \log_2 \frac{1}{3} = \log_2 3^2 + \log_2 \frac{1}{3} = \log_2 9 + \log_2 \frac{1}{3} = \log_2 \left( 9 \cdot \frac{1}{3} \right) = \log_2 3 \).

Ответ: а) 2; б) \( \sqrt{10} \); в) 9; г) \( \log_2 3 \).